Aula 7 - Trajetória

Representações da trajetória

Espaço de juntas

• Os parâmetros de movimento são definidos para as juntas
• Computacional mente mais fácil

Espaço Cartesiano

• Os movimentos são definidos para {T} em relação ao tempo
• Mais custoso computacionalmente

Esquemas do espaço de juntas

• Formas de percurso são descritas em termos de funções dos ângulos das juntas
• Não leva a singularidades
• Métodos para modelamento matemático
  • Polinômios cúbicos para trajetórias com pontos de passagem
  • Função linear com combinações parabólicas (splines)

Polinômios cúbicos

• Definir uma função para cada junta cujo valor em t0 seja sua posição inicial e em tf a sua posição meta
• Restrições
  • Posições angulares definidas
  • Velocidades inicial e final iguais a zero
• Atendidas por um polinômio de 3º grau $\theta (t)=a_0+a_{1}t+a_2{t}^2+a_3{t}^3$
• Então, a velocidade e a aceleração $\dot{\theta }(t)=a_{1}t+2a_{2}t+3a_3{t}^2$ $\ddot{\theta }(t)=2a_2+6a_{3}t$

Polinômios cúbicos com juntas de passagem

• Em uma trajetória, normalmente não se deseja que o robô pare nos pontos de passagem
• Velocidades inicial e final diferentes de 0
  • Usuário pode especificar
  • Sistema pode usar heurística para estimar automaticamente

Esquemas do espaço cartesiano

• Aplica-se a trajetórias no sistema da ferramenta {T}
  • Meta é definir funções bem conhecidas de trajetória
    • Linha reta ou círculo/semicírculo
  • A trajetória é então suavizada
  • Em seguida, definem-se os pontos de passagem
  • Por fim, mapeia-se para o espaço das juntas
• Problemas
  • Alto custo computacional
  • Pode levar a situações de singularidade do mecanismo

Geração de trajetórias em tempo de execução

• O problema envolve calcular as variáveis de junta (posição, velocidade e aceleração) a cada instante t
  • No espaço de juntas: métodos que envolvem splines
    • Splines cúbicos
      • Função computada à medida que t avança
      • Ao fim de um segmento, um novo conjunto de coeficiente cúbicos é evocado e t é reiniciado em 0
    • Splines lineares com combinações parabólicas
      • t é verificado instantaneamente para determinar a porção linear ou combinatória da função
  • No espaço cartesiano
    • Computa-se a trajetória com spline combinada com parabólica no espaço cartesiano do TCP para cada instante t
    • Para cada solução, aplica-se a inversa da Jacobiana para obter as velocidades nas juntas, e a derivada para obter a aceleração

Problemas com espaço cartesiano

Pontos intermediários inalcançáveis

• Podem existir pontos da trajetória que incidem fora do workspace. O movimento seria possível no espaço de juntas, mas no cartesiano não

Alta velocidade das juntas próxima a singularidades

• Durante o percurso, se o manipulador aproximar-se de um ponto de singularidade, a velocidade da junta tenderia ao infinito, e pode forçar o desvio do curso.
• No exemplo: quanto mais a trajetória aproximar-se do eixo da junta 1, maior será a velocidade. Uma solução seria reduzir a velocidade geral da trajetória.

Início e alvo atingíveis por diferentes soluções

• Esse tipo de problema é, muitas vezes, inevitável, e piora à medida que aumenta o número de GDLs.
• Estratégia geral: procurar definir movimentos no espaço de juntas para a maior parte da tarefa e deixar os movimentos em espaço cartesiano para situações realmente necessárias.

Outros problemas com trajetórias

Modelo dinâmico

• Alterações (atrito, força, carga) e diferentes direções (gravidade) podem alterar os parâmetros de aceleração

Colisão com obstáculos

• Trajetórias fixas não prevêem alterações no ambiente
• Quanto mais obstáculos, mais pontos de passagem
• Cooperação com dispositivos ou outros manipuladores